By Steven Rosenberg

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2 Weil die Folge {Yn} so konstruiert wurde , dass lim Yn = 0 n 50 EXTREMPUNKTSÄTZE FÜR C(S) in C(S), erhalten wir mit der Stetigkeit von g und h daraus sofort, dass g(y) = h(y) =0. Wegen der Linearität von g und h kann die Bedingung y E V ohne weiteres durch y E C(S) ersetzt werden. (iii) Wir definieren nun die Abbildung T: R -7 R durch T(y(s))=g(y), YEC(S). Punkt (ii) gewährleistet, dass T eine Funktion ist. Ist s in S und sind y, y' in C(S) so, dass y(s) = y'(s) so folgt, dass (y - y')(s) = 0 also mit (ii), dass g(y) = g(y - y') + g(y') = g(y').

Beweis. Es sei V eine beliebige Nullumgebung von E. Dann gibt es eine konvexe Nullumgebung W von E so, dass W+WcV. (6) Ist X eine präkompakte Teilmenge von E, so gibt es endlich viele Punkte Xl, ... ,Xn in X so, dass Xc{X], ... , x n }+ W. 4 eine konvexe Kombination von Elementen Yl, ... , Ym in X: x= f i=l tiYi. Es gibt dann m Koeffizienten h, ... ,jm so, dass i= 1, .... , m. Also folgt x- f i=l tixh = f i=l t;(Yi - Xj,) EW. Wir erhalten somit conv Xc conv{xt, ... , xn }+ W. (7) 24 KONVEXE MENGEN IN TOPOLOGISCHEN VEKTORRÄUMEN Ist W' irgendeine konvexe Nullumgebung von E, so gibt es ein t > 0 so, dass {XI, ••• , xn}c tW'.

Nach Korollar 3 ist damit ° ist extremer Punkt von X, denn aus (t, x, y) E (0, 1) X X 2 und tx + (1- t)y = folgt t y=-I-t X , ° was, da x und y nur nichtnegative Komponenten besitzen, bedingt, dass = y = 0. Ferner sind auch alle Elemente (l/n)e n extreme Punkte von X: Wieder mit (t, x, y) E (0, 1) X X 2 und tx + (1- t)y = (l/n)e n folgt wie vorhin Xk = Yk = 0, n# k = 1, 2, ... ,sowie x tX n + (1- t)yn = l/n. n), kann die letzte Gleichung nur stimmen, falls X n = Yn was zeigt, dass x = y = (l/n)e n .