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By Dr. rer. nat. Gerd Fischer (auth.)

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Dieser Band enthält Anwendungen der linearen Algebra auf geometrische Fragen. Ausgehend von affingen Unterräumen in Vektorräumen werden allgemeine affine Räume eingeführt, und es wird gezeigt, wie sich geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln behandeln lassen. Ein Kapitel über lineare Optimierung befaßt sich mit Systemen linearer Ungleichungen. Mit Hilfe der elementaren Theorie konvexer Mengen kann guy die Optimierung eines linearen Funktionals auf die Lösung linearer Gleichungssysteme zurückführen. Anschließend wird der für praktische Anwendungen so wichtige Simplex-Algorithmus abgeleitet. Besonderer Wert wird dabei auf einen Einblick in die geometrischen Zusammenhänge gelegt. Durch den projektiven Abschluß affiner Räume enthält guy den angemessenen Rahmen für das Studium von Sätzen aus der klassischen Geometrie. Durch viele Zeichnungen, Beispiele und Übungsaufgaben wird versucht, das Lesers Liebe zur Geometrie zu vertiefen. Affine Geometrie - Konvexe Mengen und lineare Optimierung - Projektive Geometrie

Inhalt
Inhalt: Affine Geometrie - Konvexe Mengen und lineare Optimierung - Projektive Geometrie.

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9. Ist X ein affiner Raum und f: X -> X eine affine Abbildung, so heißt Fix(f):= {xEX: f(x) = x} die Menge der Fixpunkte von f. Bemerkung. Fix(f) C X ist ein affiner Unterraum. Beweis. Ist Fix(f) oF fJ, so wählen wir ein pE Fix(f). Dann ist {PJt E T (X): xE Fix(f)} = {PJt E T (X): PJt = T (f) (PJtn also ist dies ein Untervektorraum von T (X). Man kann dies auch mit Hilfe von Koordinaten auf den Fall X = Kn zurückfUhren. In diesem Fall gibt es eine (n X n)-Matrix A und eine Spalte b, so daß f: K n -> K n , X 1-+ b + Ax Also ist und dies ist als Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ein affiner Unterraum.

Quadriken Besonders sei auf zwei Eigenschaften der Hyperbel hingewesen, die gegenüber Ellipse und Parabel neu sind. Aus e > 1 folgt, daß es auch links von der Leitlinie L Punkte gibt, die derAbstandsbedingung genügen. Die Hyperbel ist also eine unzusammenhängende Kurve mit zwei "Ästen". Weiterhin nähert sich die Hyperbel flir großes lxi an die Geraden y b = äx und y b = - äx beliebig nahe an. Jx2 - a2 explizit macht. Daher nennt man die beiden Geraden A und A' Asymptoten. Übungsau[gabe 5. 42 skizzierte ReflexiIJnseigenscluJ[t der Hyperbel.

46 x Wir behaupten nun, daß sich in Abhängigkeit von tp folgende Schnittkurve ergibt (vgl. 47 Parabel Hyperbel Aus Symmetriegründen ergibt sich fur die anderen Winkel nichts Neues. 50 1. Affine Geometrie Für I{) = ~ erhalten wir die Gleichung y2 = - 2x. Fiihren wir neue Koordinaten y = y, x = - x ein, so ergibt sich die Normalform der Parabelgleichung y2 (c = i). * = 2X Für 0';;' I{) < ergibt ist 2 cl ( x + (i Die Translation x2 y2 a2 b2 := cos 2I{) - sin 2I{) > O. Quadratische Ergänzung in GI.

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