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By Hugo Alberto Rincón Mejía

Introducci ́on
Este texto contiene el fabric de los cursos A ́lgebra Lineal I y A ́lgebra Lineal II como los he impartido a lo largo de varios an ̃os. Tiene algunas caracter ́ısticas especiales:
Comienza con operaciones asociativas, monoides, tablas de multiplicar. Esto es porque pienso que los angeles definicio ́n de Espacio vectorial puede resultar muy com- plicada para un alumno, y hago esto para que no se pierdan las consecuencias de cada axioma.
En el cap ́ıtulo de Espacios vectoriales, no so ́lo se demuestra los angeles existencia de bases, sino que se da una demostraci ́on de que las bases para un espacio vec- torial tienen el mismo cardinal.
La demostracio ́n es una aplicaci ́on del Lema de Zorn, en donde se puso mucho cuidado en presentar el argumento de manera clara en todos sus detalles.
Se presentan dos cap ́ıtulos acerca de espacios con producto inside. El primer cap ́ıtulo incluye l. a. teor ́ıa que los estudiantes de F ́ısica necesitan con urgencia, mientras que el u ́ltimo cap ́ıtulo united states los angeles teor ́ıa de espacios invariantes. En este cap ́ıtulo se estudian los operadores normales, autoadjuntos, unitarios que son tan importantes para los estudiantes de F ́ısica cu ́antica.
Se hacen ejemplos detallados de c ́alculos de formas cano ́nicas y se hace ́enfasis en los angeles teor ́ıa de diagonalizacio ́n simulta ́nea. Como aplicacio ́n, se presentan las cadenas de Markov, y se caracteriza los angeles situacio ́n en que las potencias de una matriz cuadrada convergen.

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1. Sean {> | 5 _ {Z }M[ , entonces {> | 5 Z , ; 5 [. Como cada Z es cerrada bajo la suma, entonces { + | 5 Z > ; 5 [= Por lo tanto { + | 5 _ {Z }M[ = 2. 0 5 Z , ; 5 [> por lo tanto 0 5 _ {Z }M[ = 3. u 5 I> { 5 _ {Z }M[ , u 5 I> { 5 Z > ; 5 [ , u{ 5 Z > ; 5 [ , u{ 5 _ {Z }M[ . Definici´ on 21 Sean I Y un espacio vectorial y [ un subconjunto de Y , definimos L ([) = _ {Z 6 Y | [  Z } = L ([) se llama el subespacio de Y generado por [, debido a que es el menor subespacio de Y que incluye a [= Teorema 6 L ([) es el menor subespacio de Y que incluye a [= Demostraci´ on.

E FA 0 F ^ J es o= g= por lo que alg´ un vector en la Como J genera Y , entonces E D C 1 A A A A > = 0 lista 4 3 1 0 E 0 F E 0 E F>E C 1 D C 0 1 0 3 4 3 4 3 0 0 F E 1 F E 0 F>E F>E D C 0 D C 1 3 2 4 3 1 0 F E 0 F E 2 F>E F>E D C 1 D C 3 4 4 4 3 4 F F D es combinaci´on lineal de los anteriores. Es f´acil ver que ´este no es el primero, ni el segundo, ni el tercero. El cuarto vector no puede ser f=o= de los anteriores, pues tendr´ıa que ser m´ ultiplo del primero (observar las dos primeras coordenadas).

2: Ejemplo 37 En el COPO ({1> 2> 3> ===> 10} > |), 1. sup {2> 3} = 6= 2. inf{6> 9} = 3= 3. {4> 6} = {2> 1} = 4. {3> 5} = >= Por lo que {3> 5} no tiene supremo. Observaci´ on 21 El supremo de un conjunto D en un COPO (V> 6)> si existe, es u ´nico. Demostraci´ on. Sean x y y dos supremos para D. Entonces x> y 5 D = Como x es el menor elemento de D y y 5 D > entonces x 6 y. Por simetr´ıa, y 6 x= As´ı que x = y= Notaci´ on 4 Escribiremos d ? e ´o d ¡ e> para indicar que d 6 e a d 6= e= Observaci´ on 22 Sea D  V> (V> 6) un COPO.

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