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By Hans-Berndt Brinkmann, Dieter Puppe

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3. Definition: ... @ An+1 im obigen Sinn exakt ist. Sie heist exakt (schlechthin), wenn sie an jeder - 37 - Stelle exakt ist. 4. Satz. FGr die Fol~e 0 --~ A 0 f~ B ~ilt (wobei (a) Sie ist exakt bel g> C - - ~ 0 ein Nullobjekt A bezeichnet): ~ f monomorph. ~ g epimorph. 2. WSatz: i t (b) und (b*) . betrachten das Diagramm s h 9 j, Fol~ende Aussagen (a) Die Fol~e (b) gf = 0 sind ~quivalent: f,g und ist exakt. zu ~edem Monomorphismus ~onomorphlsmus j mit J' und elnen EpSmor~hismus gj = 0 ~ibt es einen s , die das ~uadrat kommuta- tiv machen.

2 fGr die Folge Die Exaktheit bel Cf,C h und Cg mit (ker g)js = fj' . Es j' = (ker h)j" . ,h' monomorph s best~tigt. folgt aus Dualit~tsg~Gnden. , (5) f2 ker g2 5 fl ker h [g2 gl 9~ > *9 h 9 ~k 9~ / cok f1 I c o k g2 > Nach Voraussetzung ist da~ f2 epimorph und f--1 epim~rph und gl g2 monomo~ph. Wit mGssen zeigen, monom~rph ist. 2 an. Erg&uzt man das Diagramm (5) so, da~ das Diagramm (4) fEr jede der beiden Zerlegungen hinzugenommen wird, so entsteht - 11" .... ~-~,. 48 K\ |~. f2 .. - ~ 9 ~ (6} ,o " \ r f~/ ist in allen Teilen kommutativ.

5) = sc(hxn~lh) = sc(loxn~l)(hxh) = aC(hXh) und schlieBlich h(f1+f 2) = haB[f I,f2 ] = ac(hxh)[f I,f2 ] = ac[hf 1,hf 2] = hf1+hf 2 . 2). 1). ~(A,B) ein Negatives existiert. 1). Dazu Nun ist abet IB + n B = aB[1B,nB~_ = SB(IBXnBI)[IB,nB ~J = SB~IB, IB ~ = SBd B = 0 also n B = -I B. 6. Beispiel einer Kate6orie ~ die exakt abet night abelsch is~. Sei ~ die folgende Unterkategorie von P~4e: 0bjekte von ~ sind alle punktierten Mengen einem bestimmten Universum). Eine punktierte Abbildung f : A (aus > B ist genau dann ein Morphismus von ~, wenn f-1(b) fffr jedes vom Grundpu~kt verschiedene b ~ B hSchstens ein Element enth~lt.

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