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By A.K. Boiarchuk, G.P. Golovach ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria ; revisión científica de Jairo Correa Rodríguez.

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Por tanto, la ecuación dada es verdaderamente homogénea generalizada. Haciendo x — é, y = e u{t), obtenemos y -it + ti, H -t, / . H\ y - e {u + u ), • F ¡ 3u" 4- 3íí' - tí'2 = 0. El cambio de variable u' == z transforma la última ecuación en una ecuación de variables separables 3z = 2 — 3z, de cuya integración resulta ln z-3 = t + Cv o bien z = 1 - Cíe* = u. Integrando una vez más la última ecuación, hallamos u = f d(e') y c*(i —Cxé) 3¿ - 3 ln |1 - Cie'f + C2, C2, si Cx es finito; si C] = oo. Así pues, la solución general de la ecuación inicial es x 3x ln + C2x, si Ci es finito; \l-Cxx\ si C\ — oo.

Método de variación de las constantes •i, Si / es una función continua en un segmento, entonces la solución particular de la ecuación (1) se puede hallar aplicando el método de variación de la constantes que consiste en lo siguiente. Supongamos construida la solución general de la ecuación homogénea (1), es decir, tenemos la expresión (3). Entonces para hallar la solución particular de la ecuación no homogénea (1) realizamos los siguientes pasos: a) se supone que C* = Ck(x) son funciones diferenciables; b) la solución particular se busca en la forma n y{x) = (5) 1 c) las funciones C'k(x) se determinan a partir del sistema de ecuaciones algebraicas ¿CÍ(®)y?

Hallamos sin dificultad la solución general de la ecuación homogénea asociada: C2e~x. y = Cíe® + Conforme al p. 3, la solución general de la ecuación no homogénea tiene la forma y = Ci{x)ex + C2(x)e~x; las funciones arbitrarias C\ y C2 se determinan a partir del sistema de ecuaciones C[{x)ex + C2(x)e~x = 0, C[(x)ex - C'2{x)e~x = -X - Xa Resolviendo esta sistema algebraico, obtenemos c[ix)=\ ( - 4 + - ) xó 2 \ 1 / 1 x/ 2 \ Integrando esta última expresión, hallamos donde Ci, C2 son dos constantes arbitrarias nuevas.

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